Bài 1:

+ Vì E là hình chiếu của B trên \(AM\left(gt\right)\)

=> \(BE\perp AM.\)

=> \(\widehat{BEM}=90^0\)

=> \(\Delta BEM\) vuông tại \(E.\)

=> Cạnh huyền \(BM\) là cạnh lớn nhất (tính chất tam giác vuông).

=> \(BM>BE\) (1).

+ Vì F là hình chiếu của C trên \(AM\left(gt\right)\)

=> \(CF\perp AM.\)

=> \(\widehat{CFM}=90^0\)

=> \(\Delta CFM\) vuông tại \(F.\)

=> Cạnh huyền \(CM\) là cạnh lớn nhất (tính chất tam giác vuông).

=> \(CM>CF\) (2).

Cộng theo vế (1) và (2) ta được:

\(BM+CM>BE+CF\)

Mà \(BM+CM=BC\left(gt\right).\)

=> \(BC>BE+CF\)

Hay \(BE+CF< BC\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 4 nè e :)) Phải nói rằng bài của em quá khó luôn !!

Cho tam giác ABC, kẻ AH, BK vuông góc với BC, AC tại H, K, tìm số đo các góc A, B, C - minh dương

giải cho tôi bài này với

Hãy nhớ lại kiến thức lớp 7: Trong 1 tam giác, 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm và điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác (điểm này gọi là tâm đường tròn nộ tiếp). Nối E -> F; E -> D ; D -> F. Ta sẽ chứng minh H là giao điểm 3 đường phân giác. 
Ta chứng minh được ∆AFC ~ ∆AEB(g.g)
=> AF/AE = AC/AB
=> AF/AC = AE/AB.
=> ta chứng minh được ∆AEF ~ ∆ABC(c.g.c)
=> góc AEF = góc ABC, chứng minh tương tư ta được ∆CED ~ ∆CBA
=> góc CED = góc ABC
=> góc AEF = góc CED ( = góc ABC), ta có: góc FEB = 90º - góc AEF và góc BED = 90º - góc CED, mà góc AEF = góc CED
=> góc FEB = góc BED
=> BE là phân giác góc FED
=> EH là phân giác góc FED, chứng minh tương tự ta được DH là phân giác góc EDF và FH là phân giác góc EFD 

a: Xét ΔADB vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)

Xét ΔADC vuông tại D có DF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)